Оптимизация резонансных свойств фотонных кристаллов

Optimization of the resonance properties of photonic crystals


16.11.2016
 392

Выходные сведения:
Ветлужский А.Ю. Оптимизация резонансных свойств фотонных кристаллов // ИТпортал, 2016. №4 (12). URL: http://itportal.ru/science/tech/optimizatsiya-rezonansnykh-svoystv-/

Авторы:
Ветлужский А.Ю., к.ф.-м.н., с.н.с. Института физического материаловедения СО РАН, Удан-Удэ, Российская Федерация (670047, Россия, г. Улан-Удэ, ул. Сахъяновой, 6), e-mail: vay@ipms.bscnet.ru

Authors:
Vetluzhsky A.Yu., Ph.D., Senior Researcher of Institute of Physical Materials Science SB RAS, Ulan-Ude, Russian Federation (670047, Russia, Ulan-Ude, Sahjanovoj st.,6), e-mail: vay@ipms.bscnet.ru

Ключевые слова:
фотонный кристалл, резонатор, локализация излучения

Keyword:
photonic crystal, resonant element, localization of radiation

Аннотация: 
В работе методами строгого численного моделирования изучаются электродинамические свойства двумерных фотонных кристаллов, образованных металлическими цилиндрами кругового сечения. Рассматриваются резонансные свойства таких структур, заключающиеся в локализации излучения в центральной области кристалла конечной протяженности при определенном соотношении между длиной волны излучения и периодом расположения элементов. Предложен алгоритм, существенно снижающий время расчета интенсивности поля внутри фотонного кристалла в резонансном режиме. В его основе лежит взаимосвязь уровней локализованного излучения в малоэлементных фотонных кристаллах с уровнем поля в структурах любой протяженности в момент резонанса. Получены простые аппроксимирующие выражения, устанавливающие эту взаимосвязь. Описана методика, позволяющая определить оптимальные геометрические параметры резонатора, работающего на заданной частоте.

Annotation: 
In this work by the strict methods of the numerical simulation the electrodynamic properties of two-dimensional photonic crystals formed by metal cylinders of circular cross-section are studied. It is considered the resonance properties of such structures, namely, the localization of light in a central region of the crystal of finite length at a certain ratio between the wavelength and the period arrangement of elements. The algorithm significantly reduces the computation time of a field intensity inside the photonic crystal in resonant mode is proposed. It is based on the relationship of levels of localized radiation in small photonic crystals with field-level in the structures of any length at the point of resonance. The simple approximating expression which establishes this relationship is found. The technique allowing to determine optimal geometrical parameters of the resonator operating at a given frequency is described.

Оптимизация резонансных свойств фотонных кристаллов


Одним из интересных и перспективных направлений современной радиофизики является разработка и изучение свойств фотонных кристаллов (ФК) и метаматериалов. Этими терминами в настоящее время обозначают разные объекты, обладающие, тем не менее, во многом сходными чертами. В первую очередь, это периодический характер их внутренней структуры, представляющей собой чередование диэлектрических или металлических элементов с различной геометрией и разными электрофизическими характеристиками и обуславливающей особенности взаимодействия с ними электромагнитных излучений. 

Говоря об этих особенностях, для ФК в первую очередь следует отметить наличие зонной структуры спектра собственных электромагнитных состояний таких объектов, выражающееся в формировании диапазонов частот, в которых излучение либо свободно проходит через кристалл (разрешенные зоны), либо интенсивно подавляется (запрещенные зоны) [1, 2]. Кроме того, большой интерес вызывает наличие у ФК ярко выраженной дисперсии, причем как частотной, так и пространственной, что открывает широкие возможности для их весьма разнообразных практических приложений [3-7].

Так, в работах [8-10] было показано, что при определенных соотношениях между длиной волны излучения и плотностью компоновки элементов в двумерном металлическом ФК возможна локализация излучения в центральной области структуры, которую можно трактовать как проявление кристаллом резонансных свойств. На рис. 1 показан типичный частотный спектр излучения, взаимодействовавшего с описанным выше кристаллом, элементы в котором образуют квадратную решетку 11 на 11 элементов, для случая, когда точка наблюдения находится в центральной области ФК. Расчет выполнен методом самосвязанных уравнений [11, 12].

                                                                

Рис. 1. Частотная зависимость интенсивности поля в центральной области ЭК

Из  рисунка видно, что в пределах разрешенной зоны, расположенной в диапазоне значений kd (kволновое число, dпериод ФК) от 1,5 до 2,15, находятся несколько ярко выраженных максимумов, свидетельствующих о локализации поля в ФК, благодаря чему становится возможным создание резонаторных структур на основе ФК. Наибольшей амплитудой обладает первый максимум, возникающий на частоте перехода от запрещенной к разрешенной зоне, причем, как показали дополнительные исследования, это является типичным для любых двумерных регулярных ФК. Поскольку на данной частоте наблюдается максимальная локализация поля, именно при таких параметрах ФК проявляет ярко выраженные резонансные свойства.

Как уже отмечалось, электромагнитное поле внутри такого резонатора оказывается локализованным по всей площади с максимумом в его центральной области. Его характеристики могут быть определены различными численными методами, общими для которых являются значительные затраты машинного времени, быстро растущие с увеличением протяженности структур. Целью настоящей работы являлось установление взаимосвязи между интенсивностью локализованного излучения в ФК различных размеров, что позволило бы избежать трудоемких расчетов при анализе резонансных свойств многоэлементных структур.

В табл. 1 приведены значения интенсивности поля для структур, состоящих из разного количества элементов, при разных отношениях d/a, где a – радиус цилиндров. Здесь же представлены связывающие коэффициенты βn, показывающие во сколько раз увеличится интенсивность поля в резонаторе с увеличением количества элементов, составляющих его.

Таблица 1

Коэффициенты связи


Число цилиндров

Интенсивность поля

Коэффициенты связи

d/a = 10

d/a = 11

d/a = 12

d/a = 10

d/a = 11

d/a = 12

β n

9 на 9 (81)

60,59

48,877

41,322

1,69

1,68

1,67

β9

11 на 11 (121)

91,588

74,143

63,047

1,51

1,51

1,52

β11

13 на 13 (169)

129,83

105,446

89,511

1,41

1,42

1,41

β13

15 на 15 (225)

174,98

141,31

19,49

1,34

1,34

1,33

β15   


Как видно из таблицы, коэффициенты связи β9 – β15, полученные для структур при разных значениях d/a, приблизительно равны друг другу. Это дает возможность рассчитывать уровень интенсивности поля для резонаторов с разной геометрией.

Проиллюстрируем вышесказанное, определив интенсивность поля в ФК, состоящем из 121 элемента с d/a = 13. Для этого необходимо знать интенсивность поля в простейшей структуре, образованной 81 элементом. Строгое численное моделирование показало, что эта величина равна 36,1. Используя соответствующий коэффициент из таблицы 1, получаем значение интенсивности в 55,1. Проверка данной оценки с помощью метода самосвязанных уравнений привела к результатам, представленным на рис. 2, хорошо согласующимися с вышеопределенной величиной. Следовательно, использование коэффициентов связи позволяет определять степень локализации излучения в протяженных ФК, опираясь лишь на расчеты, выполненные для малоэлементных структур.

 


Рис. 2. Относительная интенсивность поля для структуры, состоящей из 121 цилиндра, первый максимум

Более того, поскольку полученный ряд коэффициентов хорошо укладывается в аппроксимирующую зависимость

                                            ,                                          (1)

появляется возможность, оперируя лишь значением интенсивности в резонансной структуре, определить число элементов в ФК, позволяющем достичь требуемого уровня локализации излучения.

Кроме того, в ходе численного моделирования было установлено, что безразмерная величина, равная произведению волнового числа, соответствующего резонансной частоте, на период ФК – kрезd, остается постоянной для любой частоты, если при этом не изменяется отношение d/a (табл. 2). 

Таблица 2

Произведение волнового числа в момент резонанса на период ЭК

d/a

7

8

9

10

11

12

kрезd

2,793

2,620

2,495

2,395

2,312

2,244

     

Аппроксимацией значений из данной таблицы была получена следующая зависимость:

                                                                      (2)

Зная kрезd для разных отношений d/a, можно легко рассчитать наиболее эффективные значения радиуса цилиндров и расстояния между ними для создания резонаторов, работающих на заданной частоте.

Например, определим оптимальную геометрию резонатора, работающего на частоте 10 ГГц (k = 209,44 м-1). Для этого необходимо с помощью формулы 2 определить значение kрезd для заданного отношения d/a, имея ввиду, что при уменьшении этой величины увеличивается интенсивность поля в структуре. Положим, что d/a = 10, этому соотношению соответствует значение kрезd = 2,395. Тогда, период ФК будет равен d = 11,435 мм, а радиус цилиндров в 10 раз меньше a = 1,1435 мм.

По данным таблицы 1 (полученным для другого значения резонансной частоты) относительная интенсивность поля, например, для структуры из 81 элемента должна составить 60,59. Проверим этот результат, применяя строгий метод расчета к структуре с вышеопределенными параметрами (рис. 3).


Рис. 3. Интенсивность поля в структуре, состоящей из 9 на 9 металлических цилиндров, на частоте 10 ГГц

Видно, что изменение частоты практически не повлекли изменения уровня излучения в момент резонанса. Далее полученную интенсивность поля можно довести до желаемого значения, подобрав оптимальную форму структуры.

Таким образом, в работе определены ряды коэффициентов, описывающих взаимосвязь интенсивности поля в резонаторах на основе ФК с разным количеством элементов и разной плотностью их компоновки. Это позволяет восстанавливать значения интенсивности локализованного излучения в многоэлементном ФК, зная лишь опорную величину интенсивности для простейшей структуры, и оптимизировать геометрию ФК для проявления им максимально выраженных резонансных свойств. Использование представленных в работе коэффициентов дает возможность существенного снижения затрат машинного времени на выполнение моделирования. В заключение отметим, что найденный ряд коэффициентов (таб. 1) с увеличением протяженности структур стремится к единице, что говорит о существовании предельных размеров резонаторов, при превышении которых уровень интенсивности локализованного в ФК излучения будет оставаться практически неизменным. 


Библиографический список


1. Joannopoulos J.D. Photonic Crystals: Molding the Flow of Light. Princeton Univ. Press. 2008. 304 p.
2. Sakoda K. Optical Properties of Photonic Crystals. Berlin, Springer. 2005. 256 p.
3. Гуляев Ю.В., Лагарьков А.Н., Никитов С.А. Метаматериалы: фундаментальные исследования и перспективы применения // Вестник РАН. 2008. Т. 78. № 5. С. 438-449.
4. Soljacic M., Joannopoulos J. Enhancement of nonlinear effects using photonic crystals // Nature materials. 2004. V. 3. P. 211-216.
5. Ломухин Ю.Л., Ветлужский А.Ю. Методы дополнительного ослабления электромагнитных полей. Новосибирск, Наука. 2003. 136 с.
6. Лозовик Ю.Е., Эйдерман С.Л. Зонная структура сверхпроводящих фотонных кристаллов // Физика твердого тела. 2008. Т. 50. № 11. С. 1944-1947.
7. Ветлужский А.Ю., Ломухин Ю.Л. Возбуждение штыревого слоя // Радиотехника и электроника. 2004. Т. 49. № 3. С. 308-313.
8. Ветлужский А.Ю., Ломухин Ю.Л., Михайлова О.Г. Эффект прозрачности объемных решеток // Радиотехника и электроника. 1998. Т. 43. № 7. С. 797-799.
9. Ветлужский А.Ю. О резонансных свойствах двумерных фотонных кристаллов // Письма в ЖТФ. 2010. Т. 36. № 12. С. 78-85.
10. Ветлужский А.Ю., Ломухин Ю.Л. Собственные волны многопроводной среды // Письма в ЖТФ. 2015. Т. 41. № 19. С. 38-45.
11. Gupta B. C., Kuo С., and Ye Z. Propagation inhibition and localization of electromagnetic waves in two-dimensional random dielectric systems // Physical Review E. 2004.Vol. 69. 066615.
12. Ветлужский А.Ю. Локализация излучения в двумерных случайных средах конечной протяженности // ЖЭТФ. 2009. Т. 136. № 2. С. 356-361.

References


1. Joannopoulos J.D. Photonic Crystals: Molding the Flow of Light. Princeton Univ. Press. 2008. 304 p.
2. Sakoda K. Optical Properties of Photonic Crystals. Berlin, Springer. 2005. 256 p.
3. Guliaev Yu.V., Lagar’kov A.N., Nikitov S.A. Metamaterialy: fundamental issledovanija i perspektivy primenenija // Vestnik RAN. 2008. Т. 78. № 5. С. 438-449. (In Russian)
4. Soljacic M., Joannopoulos J. Enhancement of nonlinear effects using photonic crystals // Nature materials. 2004. V. 3. P. 211-216.
5. Lomukhin Yu.L., Vetluzhsky A.Yu. Metody dopolnitel’nogo oslablenija electromagnitnykh polej. Novosibirsk, Nauka. 2003. 136 s. (In Russian)
6. Lozovik Yu.E., Ejderman S.L. Zonnaja struktura sverkhprovodjaschikh fotonnykh kristallov // Fisika tverdogo tela. Т. 50. № 11. С. 1944-1947. (In Russian) (In Russian)
7. Vetluzhsky A.Yu., Lomukhin Yu.L. Vozbuzhdenie shtyrevogo sloja // Radiotekhnica i electronica. 2004. Т. 49. № 3. С. 308-313. (In Russian)
8. Vetluzhsky A.Yu., Lomukhin Yu.L., Mihailova O.G. Effect prozrachnosti ob’emnykh reshetok // Radiotekhnica i electronica. 1998. Т. 43. № 7. С. 797-799. (In Russian)
9. Vetluzhsky A.Yu. O rezonansnykh svojstvakh dvumernykh fotonnykh kristallov // Pis’ma v GTF. 2010. Т. 36. № 12. С. 78-85. (In Russian)
10. Vetluzhsky A.Yu., Lomukhin Yu.L. Sobstvennye volny mnogoprovodnoj sredy // Pis’ma v GTF. 2015. Т. 41. № 19. С. 38-45. (In Russian)
11. Gupta B. C., Kuo С., and Ye Z. Propagation inhibition and localization of electromagnetic waves in two-dimensional random dielectric systems // Physical Review E. 2004.Vol. 69. 066615.
12. Vetluzhsky A.Yu. Lokalizatsija izluchenija v dvumernyh sluchajnykh sredah konechnoj protjazhennosti // GETF. 2009. Т. 136. № 2. С. 356-361. (In Russian)

© 2002-2017 электронный научный журнал «ИТпортал», публикация хороших научных статей по ИТ, 16+
Свидетельство Управления Федеральной службы по надзору в сфере связи, информационных технологий и
массовых коммуникаций по Приволжскому федеральному округу ИА № ТУ 52-01110 от 24 февраля 2016 г.
ISSN 2414-5688


Яндекс.Метрика